Os poliedros são sólidos geométricos, formas com três dimensões, limitados por um número finito de polígonos planos. Esses polígonos formam as faces do poliedro.

A intersecção de duas faces é chamada de aresta e o ponto comum de três ou mais arestas é chamado de vértice, conforme indicado na imagem abaixo.

Para ser considerado um poliedro, a forma não deve possuir faces curvas.

Os poliedros são classificados como convexos ou não convexos e podem ser regulares (com todas as faces e ângulos iguais) ou irregulares.

Elementos dos poliedros.

Poliedro convexo e não convexo

Os poliedros podem ser classificados como convexos ou não convexos. Um poliedro é considerado convexo se qualquer segmento de reta que conecta dois pontos em seu interior estiver completamente contido dentro dele.

Outra maneira de identificar um poliedro convexo é observar que qualquer reta que não esteja contida em nenhuma de suas faces nem seja paralela a elas intersecta os planos das faces em, no máximo, dois pontos.

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Fórmula de Euler: relação entre vértices, faces e arestas

O Teorema ou Fórmula de Euler é válido para os poliedros convexos e para alguns poliedros não-convexos. Este teorema estabelece a seguinte relação entre o número de faces, vértices e arestas:

 

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Onde,

F: número de faces
V: número de vértices
A: número de arestas

Os poliedros onde a relação de Euler é válida são chamados de eulerianos. É importante notar que todo poliedro convexo é euleriano, porém nem todo poliedro euleriano é convexo.

Exemplo

Um poliedro convexo é formado por exatamente 4 triângulos e 1 quadrado. Quantos vértices tem esse poliedro?

Resolução

Primeiro precisamos definir a quantidade de faces e arestas. Como o poliedro possui 4 triângulos e 1 quadrado, então possui 5 faces.

Para encontrar o número de arestas podemos calcular o número total de lados e dividir o resultado por dois, visto que cada aresta é a intersecção de dois lados:

 

Agora que conhecemos o número de faces e arestas, podemos aplicar a relação de Euler, assim temos:

 

Portanto, este poliedro possui 5 vértices.

Veja mais sobre a relação de Euler.

Poliedros regulares: os sólidos de Platão

Os poliedros convexos são regulares quando suas faces são compostas por polígonos regulares e congruentes entre si. Além disso, o número de aresta em cada vértice é o mesmo.

Devemos lembrar que os polígonos regulares são aqueles que possuem todos os lados e ângulos congruentes, ou seja, com mesma medida.

Existem apenas cinco poliedros regulares convexos, designados por “Sólidos Platônicos” ou “Poliedros de Platão”. São eles: tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro, icosaedro.

• Tetraedro: sólido geométrico formado por 4 vértices, 4 faces triangulares e 6 arestas.
• Hexaedro: sólido geométrico formado por 8 vértices, 6 faces quadrangulares e 12 arestas.
• Octaedro: sólido geométrico formado por 6 vértices, 8 faces triangulares e 12 arestas.
• Dodecaedro: sólido geométrico formado por 20 vértices, 12 faces pentagonais e 30 arestas.
• Icosaedro: sólido geométrico formado por 12 vértices, 20 faces triangulares e 30 arestas.

 

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Veja também: Polígonos: o que são e suas classificações (com exemplos)

Prismas

Os prismas são sólidos geométricos que apresentam duas bases formadas por polígonos congruentes e localizados em planos paralelos. Suas faces laterais são paralelogramos ou retângulos.

Conforme a inclinação das arestas laterais em relação à base, os prismas são classificados em retos ou oblíquos.

As faces laterais dos prismas retos são retângulos, enquanto dos prismas oblíquos são paralelogramos, conforme imagem abaixo:

Veja também: Prisma - Figura Geométrica

Pirâmide

As pirâmides são sólidos geométricos formados por uma base poligonal e um vértice (vértice da pirâmide) que une todas as faces laterais triangulares.

O número de lados do polígono da base corresponde ao número de faces laterais da pirâmide.

Saiba mais sobre o tema:

• Volume da Pirâmide
• Geometria Espacial
• Formas Geométricas
• Sólidos Geométricos
• Pirâmide
• Volume do Prisma

Veja também: Fórmulas de Matemática

Exercícios sobre poliedros

Exercício 1

(Enem - 2018) Minecraft é um jogo virtual que pode auxiliar no desenvolvimento de conhecimentos relacionados a espaço e forma. É possível criar casas, edifícios, monumentos e até naves espaciais, tudo em escala real, através do empilhamento de cubinhos.

Um jogador deseja construir um cubo com dimensões 4 x 4 x 4. Ele já empilhou alguns dos cubinhos necessários, conforme a figura.

Os cubinhos que ainda faltam empilhar para finalizar a construção do cubo, juntos, formam uma peça única, capaz de completar a tarefa.

O formato da peça capaz de completar o cubo 4 x 4 x 4 é

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Exercício 2

(Enem - 2017) Uma rede hoteleira dispõe de cabanas simples na ilha de Gotland, na Suécia, conforme Figura 1. A estrutura de sustentação de cada uma dessas cabanas está representada na Figura 2. A ideia é permitir ao hóspede uma estada livre de tecnologia, mas conectada com a natureza.

A forma geométrica da superfície cujas arestas estão representadas na Figura 2 é

a) tetraedro.
b) pirâmide retangular.
c) tronco de pirâmide retangular.
d) prisma quadrangular reto.
e) prisma triangular reto.